椭圆的中心是原点O,它的短轴长为2,A(,0),F(c,0)(c>0OF|=2|FA|,过点A的直线与椭...

问题详情：

椭圆的中心是原点O,它的短轴长为2,A(,0),F(c,0)(c>0

OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.

(1)求椭圆的方程及离心率;

(2)若·=0,求直线PQ的方程;

(3)设=λ(λ>1),过点P且平行于x=的直线与椭圆相交于另一点M,*=-λ.

【回答】

 (1)解:由题意,可设椭圆的方程为+=1(a>).

由已知得

解得a=,c=2.

所以椭圆的方程为+=1,离心率e=.

(2)解:由(1)可得A(3,0).

设直线PQ的方程为y=k(x-3).

由方程组

得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0,

依题意Δ=12(2-3k2)>0,

得-<k<.

设P(x1,y1),Q(x2,y2),

则x1+x2=,①

x1x2=.②

由直线PQ的方程得y1=k(x1-3),y2=k(x2-3).于是

y1y2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9].③

∵·=0,

∴x1x2+y1y2=0.④

由①②③④得5k2=1,从而k=±∈(-,).

所以直线PQ的方程为x-y-3=0或x+y-3=0.

(3)*:=(x1-3,y1),=(x2-3,y2).

由已知得方程组

由题意知λ>1,解得x2=.

因F(2,0),M(x1,-y1),故

=(x1-2,-y1)=(λ(x2-3)+1,-y1)=(,-y1)=-λ(,y2).

而=(x2-2,y2)=(,y2),

所以=-λ.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题