已知椭圆C：()的离心率为，短轴一个端点到右焦点F的距离为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F的直线l交椭...

问题详情：

已知椭圆C：()的离心率为，短轴一个端点到右焦点F的距离为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点F的直线l交椭圆于A､B两点，交y轴于P点，设，，试判断是否为定值？请说明理由.

【回答】

（1）；（2）存在，定值为.

【分析】

（1）由题意可得，，，可求得椭的圆方程；

（2）设直线的方程为，与椭圆的方程联立整理得：，设，， 由一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据向量的坐标运算表示出， ，代入计算可求得定值.

【详解】

（1）由题可得，

又，所以

因此椭圆方程为

（2）由题可得直线斜率存在，设直线l的方程为，

由消去y，整理得：，

设，，则，

又，，则，，

由可得，所以

同理可得，

所以

所以，为定值.

【点睛】

关键点点睛：该题考查直线与椭圆的定值问题，关键在于联立方程组，得出交点的坐标的关系，将目标条件转化到交点的坐标上去，属于中档题目.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题