直线l过椭圆+y2=1的左焦点F,且与椭圆相交于P、Q两点,M为PQ的中点,O为原点.若△FMO是以OF为底边...

问题详情：

直线l过椭圆+y2=1的左焦点F,且与椭圆相交于P、Q两点,M为PQ的中点,O为原点.若△FMO是以OF为底边的等腰三角形,则直线l的方程为　　　　. 

【回答】

x±y+1=0

解析:法一　由椭圆方程得a=,b=c=1,则F(-1,0).

在△FMO中 ,|MF|=|MO|,

所以M在线段OF的中垂线上,

即xM=-,

设直线l的斜率为k,则其方程为y=k(x+1),

由得x2+2k2(x+1)2-2=0,

即(2k2+1)x2+4k2x+2(k2-1)=0,

∴xP+xQ=,

而M为PQ的中点,

故xM=(xP+xQ)==-,

∴k2=,

解得k=±.

故直线l的方程为y=±(x+1),

即x±y+1=0.

法二　设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),

由题意知kPQ=-kOM,

由P、Q在椭圆上知

两式相减整理得kPQ==-=-,

而kOM=,故=,

即=2,

所以kPQ=±,

直线PQ的方程为y=±(x+1),

即x±y+1=0.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：填空题