设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C上的点，在△PF1F2中，点Q满足=4...

问题详情：

设椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C上的点，在△PF1F2中，点Q满足=4，∠F1PF2=∠QF2F1，则椭圆C的离心率e的取值范围是（　　）

A．0＜e＜  B．＜e＜

C．＜e＜1  D．0＜e＜或＜e＜1

【回答】

B【分析】由题意可设|F1Q|=t，|F1P|=4t，运用三角形相似的判断和*质，可得t=c，由椭圆的*质可得a﹣c＜|F1P|＜a+c，运用离心率公式计算即可得到所求范围．

【解答】解：由点Q满足=4，

设|F1Q|=t，|F1P|=4t，

在△F1PF2和△F1F2Q中，∠F1PF2=∠QF2F1，∠PF1F2=∠F2F1Q，

可得△F1PF2∽△F1F2Q，即有：

=，即=，

可得t=c，由a﹣c＜|F1P|＜a+c，

可得a﹣c＜4c＜a+c，

即为a＜5c且a＞3c，

由e=可得＜e＜．

故选：B．

【点评】本题考查椭圆的离心率的范围，注意运用三角形相似的*质，以及椭圆的点到焦点的距离的最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：选择题