已知椭圆.(Ⅰ)我们知道圆具有*质:若为圆O:的弦AB的中点,则直线AB的斜率与直线OE的斜率的乘积为定值。类...
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已知椭圆.
(Ⅰ)我们知道圆具有*质:若为圆O:的弦AB的中点,则直线AB的斜率与直线OE的斜率的乘积为定值。类比圆的这个*质,写出椭圆的类似*质,并加以*;
(Ⅱ)如图(1),点B为在第一象限中的任意一点,过B作的切线,分别与x轴和y轴的正半轴交于C,D两点,求三角形OCD面积的最小值;
(Ⅲ)如图(2),过椭圆上任意一点作的两条切线PM和PN,切点分别为M,N.当点P在椭圆上运动时,是否存在定圆恒与直线MN相切?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.
图(1) 图(2)
【回答】
解:(Ⅰ)若A,B为椭圆上相异的两点,为A,B中点,当直线AB
的斜率与直线OP的斜率的乘积必为定值;----- -------------1分
*1:设,则
(2)-(1)得:,-----------2分
仅考虑斜率存在的情况:----------------------------------------4分
*2:设AB:与椭圆联立得:
, --------------2分
所以----------4分
(Ⅱ)(ⅰ)当点A无限趋近于点B时,割线AB的斜率就等于椭圆上的B的切线的斜率,
即,
所以点B处的切线QB:----------------6分
令,,令,所以-----------------8分
又点B在椭圆的第一象限上,所以
,当且仅当
所以当时,三角形OCD的面积的最小值为-------10分(没写等号成立扣1分)
(ⅱ)设,由(ⅰ)知点处的切线为:
又过点,所以,又可理解为点在直线上
同理点在直线上,所以直线MN的方程为: --------------------------12分
所以原点O到直线MN的距离,----------13分
所以直线MN始终与圆相切. ------------------------14分
知识点:圆锥曲线与方程
题型:综合题
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