已知椭圆内有一点P（2，1）,过点P作直线交椭圆于          A、B两点。(1).若弦AB恰好被点P平...

问题详情：

已知椭圆内有一点P（2，1）,过点P作直线交椭圆于

           A、B两点。

(1).若弦AB恰好被点P平分，求直线AB的方程；

(2).当原点O到直线AB的距离取最大值时，求△AOB的面积。

【回答】

解：(1).设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k

   由A、B在椭圆上，得                    

  又∵  P（2，1）是AB的中点 ，  ∴       ……….…2分 

   由①－② 得   

      ∴    k==－                       …………...….4分

     ∴    直线AB的方程为y－1=－(x－2) 即  8x+9y－25=0 ；……6分

  (2).当原点O到直线AB的距离取最大值时  OP⊥AB

     ∵   kOP=              ∴  kAB=－2

     ∴    直线AB的方程为 y－1=－2(x－2)  即  2x+y-5=0   ……8分

联立方程组   得 40x2-180x+189=0 

设A(x1,y1),B(x2,y2), 则  

 ∴   |AB|==…………………10分

 ∴   S△AOB=|OP||AB|= 。  …………………………12分               

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题