已知椭圆 经过点，且离心率等于． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆交于两点，与圆交于两点．若，试求的取...

问题详情：

已知椭圆 经过点，且离心率等于． 

（1）求椭圆的方程； 

（2）若直线与椭圆交于两点，与圆交于两点．若，试求的取值范围．

【回答】

(1) ;(2) .

（1）由题意可得e==，a2﹣b2=c2，

将M的坐标代入椭圆方程，可得+=1，解得a=2，b=c=2，

即有椭圆的方程为+=1；

（2）①O到直线y=x+m的距离为d=，由弦长公式可得|CD|=2，

②由y=x+m代入椭圆方程x2+2y2=8，可得3x2+4mx+2m2﹣8=0，

由判别式为△=16m2﹣12（2m2﹣8）＞0，化简可得m2＜12，

由直线和圆相交的条件可得d＜r，即有＜，即为m2＜4，

综上可得m的范围是（﹣2，2）．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

可得x1+x2=﹣，x1x2=，即有弦长|AB|=•

=•=•，|CD|=2=，

即有λ==•=•，

由0＜4﹣m2≤4，可得≥2，即有λ≥．

则λ的取值范围是[，+∞）．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题