如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，将△ABC折叠，使点B落在边AC上的D处，折痕为PQ．（...

问题详情：

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，将△ABC折叠，使点B落在边AC上的D处，折痕为PQ．

（1）当点D与点A重合时，折痕PQ的长为　   　；

（2）设AD=x，AP=y．

①求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

②当x取何值时，重叠部分为等腰三角形？

【回答】

【解答】解：（1）如图，

当点D和点A重合时，

由折叠知，AP=BP，∠BPQ=∠APQ，

∵∠APQ+∠BPQ=180°，

∴∠BPQ=∠APQ=90°=∠BAC，

∴PQ∥AC，

∵AP=BP，

∴PQ是△ABC的中位线，

∴PQ=AC=2；

（2）∵AD=x，AC=4，

∴CD=4﹣x，

∵AP=y，AB=4，

∴BP=4﹣y，

在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB=4，

∴BC=4，∠B=∠C=45°，

如图1，

由折叠知，DP=BP=4﹣y，

在Rt△ADP中，根据勾股定理得，AP2+AD2=PD2，

∴y2+x2=（4﹣y）2，

∴y=﹣x2+2（0≤x≤4）；

（3）①PD=DQ时，BP=BQ，

由翻折变换得，BP=PD，BQ=DQ，

∴BP=BQ=PD=DQ，

∴四边形BQDP是菱形，

∴PD∥BC，BP∥DQ，

∵∠A=90°，AB=AC，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴△APD和△CDQ都是等腰直角三角形，

在Rt△APD中，PD=AD=x，

在Rt△CDQ中，CD=DQ，

∵PD=DQ，

∴CD=AD，

∵AC=AD+CD，

∴AD+AD=4，

即：x+x=4

解得AD=4﹣4；

②DQ=PQ时，BQ=PQ，

∴∠BPQ=∠B=45°，

∴△BPQ是等腰直角三角形，

∴点B与点C重合，

∴x=AD=AC=4；

③PD=PQ时，PQ=BP，

∴∠BQP=∠B=45°，

∴△BPQ是等腰直角三角形，

∴点B与点A重合，

此时，点B与点A重合，不符合题意，舍去；

综上所述，AD的长度为4或4﹣4．

知识点：勾股定理

题型：解答题