（2019·湖北中考模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径...

问题详情：

（2019·湖北中考模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F

(1)求*：AC是⊙O的切线；

(2)若CF＝2，CE＝4，求⊙O的半径．

【回答】

（1）见解析；（2）⊙O的半径为5．

【解析】

（1）*：连接OE．

∵OE＝OB，

∴∠OBE＝∠OEB，

∵BE平分∠ABC，

∴∠OBE＝∠EBC，

∴∠EBC＝∠OEB，

∴OE∥BC，

∴∠OEA＝∠C，

∵∠ACB＝90°，

∴∠OEA＝90°，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为r．

过点O作OH⊥BF交BF于H，

由题意可知四边形OECH为矩形，

∴OH＝CE＝4，CH＝OE＝r，

∴BH＝FH＝CH－CF＝r－2，

在Rt△BHO中，∵OH2+BH2＝OB2，

∴42+（r－2）2＝r2，

解得r＝5．

∴⊙O的半径为5．

【点睛】

本题考查了圆的切线的判定、角平分线和平行线的*质、勾股定理、垂径定理等知识，在圆中常利用勾股定理计算圆中的线段．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题