已知椭圆C：（＞b＞0）的左、右顶点分别为A1、A2 ，上、下顶点分别为B2、B1 ，O为坐标原点，四边形A1...

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已知椭圆C：（＞b＞0）的左、右顶点分别为A1、A2 ，上、下顶点分别为B2、B1 ， O为坐标原点，四边形A1B1A2B2的面积为4，且该四边形内切圆的方程为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若M、N是椭圆C上的两个不同的动点，直线OM、ON的斜率之积等于，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．

【回答】

解：（Ⅰ）∵四边形A1B1A2B2的面积为4，又可知四边形A1B1A2B2为菱形， ∴ ，即ab=2 ① 由题意可得直线A2B2方程为：，即bx+ay﹣ab=0， ∵四边形A1B1A2B2内切圆方程为， ∴圆心O到直线A2B2的距离为，即 ② 由①②解得：a=2，b=1，∴椭圆C的方程为：（Ⅱ）若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），由得：（1+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣1）=0∵直线l与椭圆C相交于M，N两个不同的点， ∴△=64m2k2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞0得：1+4k2﹣m2＞0③ 由韦达定理： ∵直线OM，ON的斜率之积等于， ∴ ， ∴ ， ∴2m2=4k2+1满足③…（9分） ∴ ，又O到直线MN的距离为，，所以△OMN的面积若直线MN的斜率不存在，M，N关于x轴对称设M（x1 ， y1），N（x1 ， ﹣y1），则，，又∵M在椭圆上，，∴ ，所以△OMN的面积S= = =1．综上可知，△OMN的面积为定值1