如图所示，椭圆的左､右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，右焦点为，，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作...

问题详情：

如图所示，椭圆的左､右顶点分别为、，上、下顶点分别为、，右焦点为，，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作不与轴重合的直线与椭圆交于点、，直线与直线交于点，试讨论点是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由.

【回答】

（1）；（2）存在，且定直线方程为.

【分析】

（1）由题意可得出关于、的方程组，求得、的值，可求得的值，由此可求得椭圆的标准方程；

（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，求出交点的纵坐标，进而可得出结论.

【详解】

（1）由题意可得，解得，，，

因此，椭圆的标准方程为；

（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，

联立，消去并整理得，

，

由韦达定理得，.

易知点、，

直线的斜率为，直线的方程为，

直线的斜率为，直线的方程为，

由，可得，

其中，

，解得.

因此，点在定直线上.

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了定直线的问题，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题