如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．...

问题详情：

如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．

（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；

（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．

【回答】

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）将p代入方程求得抛物线方程即可得到焦点坐标；

（Ⅱ）设，联立直线与椭圆方程得到根与系数的关系，进一步得到M的坐标，进一步得到关于的方程，联立直线与抛物线方程得到，再联立抛物线与椭圆方程得到，即可建立方程，再利用基本不等式求最值即可.

【详解】（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；

（Ⅱ）设

由

由M在抛物线上，所以

由即

所以，，，

所以，的最大值为，此时.

【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题.

知识点：高考试题

题型：解答题