设椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,左顶点M到直线+=1的距离d=,O为坐标原点.(1)求...

问题详情：

设椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,左顶点M到直线+=1的距离d=,O为坐标原点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线l与椭圆C相交于A,B两点,若以AB为直径的圆经过坐标原点,*:点O到直线AB的距离为定值;

(3)在(2)的条件下,试求△AOB的面积S的最小值.

【回答】

 (1)解:由e=,得c=a,

又b2=a2-c2,所以b=a,即a=2b.

由左顶点M(-a,0)到直线+=1,

即bx+ay-ab=0的距离d=,

得=,

即=,

把a=2b代入上式,得=,

解得b=1.

所以a=2b=2,c=.

所以椭圆C的方程为+y2=1.

(2)*:设A(x1,y1),B(x2,y2),

①当直线AB的斜率不存在时,由椭圆的对称*,可知x1=x2,y1=-y2.

因为以AB为直径的圆经过坐标原点,故·=0,

即x1x2+y1y2=0,也就是-=0,

又点A在椭圆C上,所以+=1,

解得|x1|=|y1|=.

此时点O到直线AB的距离d1=|x1|=.

②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为

y=kx+m,

与椭圆方程联立有

消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,

所以x1+x2=-,x1x2=.

因为以AB为直径的圆过坐标原点O,所以OA⊥OB.

所以·=x1x2+y1y2=0.

所以(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.

所以(1+k2)·-+m2=0.

整理得5m2=4(k2+1),

所以点O到直线AB的距离d2==.

综上所述,点O到直线AB的距离为定值.

(3)解:设直线OA的斜率为k0.

当k0≠0时,则OA的方程为y=k0x,OB的方程为

y=-x,

联立

得

同理可求得

故△AOB的面积为S=·|x1|·|x2|

=2.

令1+=t(t>1),

则S=2=2,

令g(t)=-++4=-9(-)2+(t>1),

所以4<g(t)≤.

所以≤S<1.

当k0=0时,可求得S=1,

故≤S≤1,故S的最小值为.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题