如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两...

问题详情：

如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程．

【回答】

(Ⅰ)；(Ⅱ)．

【解析】

试题分析：（1）由题意得到离心率，再结合距离公式即可得：，所求椭圆的方程为：.（2）易得直线的方程：，用点差法得到设直线的方程为：，与椭圆方程联立得，由得到的取值范围；由弦长公式，点到直线的距离表示出面积，即可求出直线的方程．

试题解析：（1）由题：； 

左焦点到点的距离为：.‚

由‚可解得：.

所求椭圆的方程为：.

（2）易得直线的方程：，设.其中.

、在椭圆上，

设直线的方程为：，

代入椭圆：.

显然.

且.

点到直线的距离为：.

当且仅当时，三角形的面积最大，此时直线的方程.

考点：1、椭圆的*质；2、中点弦问题；3、最值问题．

【技巧点晴】本题考查是椭圆的定义和*质、直线与圆锥曲线的位置关系、最值等综合知识，属于难题；圆锥曲线中有关三角形面积问题，解决方法一般有两种：第一种是利用公式求出弦长，表示出点到弦长所在直线的距离，用求面积；第二种是以轴（或者轴）为界，把三角形分成两部分，利用其中为三角形被轴（或者轴）解得的线段长度．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题