设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调*;(2)...

问题详情：

设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.

(1)讨论f(x)在其定义域上的单调*;

(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.

【回答】

解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),

f′(x)=1+a-2x-3x2.

令f′(x)=0,得x1=,x2=,

x1<x2.

所以f′(x)=-3(x-x1)(x-x2).

当x<x1或x>x2时,f′(x)<0;

当x1<x<x2时,f′(x)>0.

故f(x)在(-∞,)和(,+∞)内单调递减,在(,)内单调递增.

(2)因为a>0,所以x1<0,x2>0.

①当a≥4时,x2≥1.

由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增.

所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.

②当0<a<4时,x2<1.

由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减.

所以f(x)在x=x2=处取得最大值.

又f(0)=1,f(1)=a,所以

当0<a<1时,f(x)在x=1处取得最小值;

当a=1时,f(x)在x=0处和x=1处同时取得最小值;

当1<a<4时,f(x)在x=0处取得最小值.

知识点：导数及其应用

题型：解答题