对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下*作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点...

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对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下*作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）

（1）根据以上*作和发现，求的值；

（2）将该矩形纸片展开．

①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求*：∠HPC=90°；

②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）

【回答】

【分析】（1）依据△BCE是等腰直角三角形，即可得到CE=BC，由图②，可得CE=CD，而AD=BC，即可得到CD=AD，即=；

（2）①由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，依据勾股定理可得AH2+AP2=BP2+BC2，进而得出AP=BC，再根据PH=CP，∠A=∠B=90°，即可得到Rt△APH≌Rt△BCP（HL），进而得到∠CPH=90°；

②由AP=BC=AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；由∠BCE=∠PCH=45°，可得∠BCP=∠ECH，由∠DCE=∠PCH=45°，可得∠PCE=∠DCH，进而得到CP平分∠BCE，故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．

【解答】解：（1）由图①，可得∠BCE=∠BCD=45°，

又∵∠B=90°，

∴△BCE是等腰直角三角形，

∴=cos45°=，即CE=BC，

由图②，可得CE=CD，而AD=BC，

∴CD=AD，

∴=；

（2）①设AD=BC=a，则AB=CD=a，BE=a，

∴AE=（﹣1）a，

如图③，连接EH，则∠CEH=∠CDH=90°，

∵∠BEC=45°，∠A=90°，

∴∠AEH=45°=∠AHE，

∴AH=AE=（﹣1）a，

设AP=x，则BP=a﹣x，由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，

∴AH2+AP2=BP2+BC2，

即[（﹣1）a]2+x2=（a﹣x）2+a2，

解得x=a，即AP=BC，

又∵PH=CP，∠A=∠B=90°，

∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），

∴∠APH=∠BCP，

又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC=90°，

∴∠APH+∠BPC=90°，

∴∠CPH=90°；

②折法：如图，由AP=BC=AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，

故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；

折法：如图，由∠BCE=∠PCH=45°，可得∠BCP=∠ECH，

由∠DCE=∠PCH=45°，可得∠PCE=∠DCH，

又∵∠DCH=∠ECH，

∴∠BCP=∠PCE，即CP平分∠BCE，

故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．

【点评】本题属于折叠问题，主要考查了等腰直角三角形的*质，矩形的*质，全等三角形的判定与*质的综合运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的*质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出*．

知识点：各地中考

题型：综合题