如图，一次函数y=k1x+5（k1＜0）的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数y=（k2＞0）的图象交于M...

问题详情：

如图，一次函数y=k1x+5（k1＜0）的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数y=（k2＞0）的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，已知CM=1．

（1）求k2﹣k1的值；

（2）若=，求反比例函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，设点P是x轴（除原点O外）上一点，将线段CP绕点P按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q的坐标；如果不能，请说明理由．

【回答】

解：（1）如图1，∵MC⊥y轴于点C，且CM=1，

∴M的横坐标为1，

当x=1时，y=k1+5，

∴M（1，k1+5），

∵M在反比例函数的图象上，

∴1×（k1+5）=k2，

∴k2﹣k1=5；

（2）如图1，过N作ND⊥y轴于D，

∴CM∥DN，

∴△ACM∽△ADN，

∴，

∵CM=1，

∴DN=4，

当x=4时，y=4k1+5，

∴N（4，4k1+5），

∴4（4k1+5）=k2①，

由（1）得：k2﹣k1=5，

∴k1=k2﹣5②，

把②代入①得：4（4k2﹣20+5）=k2，

k2=4；

∴反比例函数的解析式：y=；

（3）当点P滑动时，点Q能在反比例函数的图象上；

如图2，CP=PQ，∠CPQ=90°，

过Q作QH⊥x轴于H，

易得：△COP≌△PHQ，

∴CO=PH，OP=QH，

由（2）知：反比例函数的解析式：y=；

当x=1时，y=4，

∴M（1，4），

∴OC=PH=4，

设P（x，0），

∴Q（x+4，x），

当点Q落在反比例函数的图象上时，

x（x+4）=4，

x2+4x+4=8，

x=﹣2±，

当x=﹣2+2时，x+4=2+2，如图2，Q（2+2，﹣2+2）；

当x=﹣2﹣2时，x+4=2﹣2，如图3，Q（2﹣2，﹣2﹣2）；

如图4，CP=PQ，∠CPQ=90°，设P（x，0），

过P作GH∥y轴，过C作CG⊥GH，过Q作QH⊥GH，

易得：△CPG≌△PQH，

∴PG=QH=4，CG=PH=x，

∴Q（x﹣4，﹣x），

同理得：﹣x（x﹣4）=4，

解得：x1=x2=2，

∴Q（﹣2，﹣2），

综上所述，点Q的坐标为（2+2，﹣2+2）或（2﹣2，﹣2﹣2）或（﹣2，﹣2）．[中*#国&教育^出~版网]

知识点：各地中考

题型：综合题