已知椭圆的两个焦点为、，是与的等差中项，其中、、都是正数，过点和的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2...

问题详情：

已知椭圆的两个焦点为、，是与的等差中项，其中、、都是正数，过点和的直线与原点的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）（文）过点作直线交椭圆于另一点，求长度的最大值；

（3）已知定点，直线与椭圆交于、相异两点．*：对任意的，都存在实数，使得以线段为直径的圆过点．

【回答】

解：（1）在椭圆中，由已知得·············· 1分

过点和的直线方程为，即，该直线与原点的距离为，由点到直线的距离公式得：·························· 3分

解得：；所以椭圆方程为··············· 4分

（2）（文）设，则，，其中 6分

当时，取得最大值，所以长度的最大值为········ 9分

（3）将代入椭圆方程，得，由直线与椭圆有两个交点，所以，解得············· 11分

设、，则，，因为以为直径的圆过点，所以，即，······················· 13分

而=，所以

，解得········ 14分

如果对任意的都成立，则存在，使得以线段为直径的圆过点．

，即．所以，对任意的，都存在，使得以线段为直径的圆过点．            16分

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题