设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点．（1）求数量积的取值范围；（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交...

问题详情：

设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点．

（1）求数量积的取值范围；

（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围．

【回答】

解：（1）由题意，可求得，．                    （1分）

设，则有，                    （3分）

                         （2分）

所以，．                                           （1分）

（2）设直线的方程为，                        （1分）

代入，整理得，（*）       （2分）

因为直线过椭圆的左焦点，所以方程*有两个不相等的实根．

设，，中点为，则

，，．                 （2分）

线段的垂直平分线的方程为．             （1分）

令，则．（2分）

因为，所以．即点横坐标的取值范围为．  （1分）

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题