某生产旅游纪念品的工厂，拟在2017年度进行系列促销活动，经市场调查和测算，该纪念品的年销售量 （单位：万件）...

问题详情：

某生产旅游纪念品的工厂，拟在2017年度进行系列促销活动，经市场调查和测算，该纪念品的年销售量  （单位：万件）与年促销费用（单位：万元）之间满足  于  成反比例.若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件.已知加工厂2017年生产纪念品的固定投资为3万元，没生产1万件纪念品另外需要投资32万元.当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的1.5倍”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时，则当年的产量和销量相等.（利润=收入－生产成本－促销费用） （Ⅰ）请把该工厂2017年的年利润  （单位：万元）表示成促销费（单位：万元）的函数； （Ⅱ）试问：当2017年的促销费投入多少万元时，该工程的年利润最大？

【回答】

解：（Ⅰ）设反比例系数为  （  ）.由题意有  .

又  时，  ，所以  ，  ，

则  与的关系是  （ ），

依据题意，可知工厂生产  万件纪念品的生产成本为  万元，促销费用为万元，则每件纪念品的定价为  元/件，

于是  ，进一步化简，得  （  ）.

因此工厂2017年的利润为  （  ）.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，  （  ）  ，

当且仅当  ，即  时取等号，

所以当2017年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元.

【解析】 (1)根据反比例函数的定义结合同意代入数值求出k的值，进而通过x表示出年利润y的代数式，对其化简整理即可得到函数式。(2)根据题意利用基本不等式求出最值即可。

知识点：函数的应用

题型：解答题