已知椭圆:的左、右焦点分别为,右顶点为,且过点,圆是以线段为直径的圆,经过点且倾斜角为的直线与圆相切.(1)求...
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问题详情:
已知椭圆:的左、右焦点分别为,右顶点为,且过点,圆是以线段为直径的圆,经过点且倾斜角为的直线与圆相切.
(1)求椭圆及圆的方程;
(2)是否存在直线,使得直线与圆相切,与椭圆交于两点,且满足?若存在,请求出直线的方程,若不存在,请说明理由.
【回答】
(1)由题意知,,,圆的方程为
由题可知,解得 ,
所以椭圆的方程为,圆的方程为.
(2)假设存在直线满足题意.
由,可得,故.
(ⅰ)当直线的斜率不存在时,此时的方程为.
当直线时,可得
所以.
同理可得,当时,.
故直线不存在.
(ⅱ)当直线的斜率存在时,设方程为,
因为直线与圆相切,
所以,整理得①
由消去y整理得,
设,则,,
因为,所以,
则,即,所以,
所以,整理得②
由①②得,此时方程无解.
故直线不存在.
由(i)(ii)可知不存在直线满足题意.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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